Définition

Définition :
Une fonction gaussienne est une fonction de la forme : $$f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }$$

Amplitude

Définition :
On dit que \(A\) est l'amplitude de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)

Moyenne

Définition :
On dit que \(\mu\) est la moyenne de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)

Ecart-type

Définition :
On dit que \(\sigma\) est l'écart-type de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)

Variance

Définition :
On dit que \(\sigma^2\) est la variance de la gaussienne \(f(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }\)

Propriétés

Symétrie

Proposition :
Une gaussienne est symétrique autour de sa moyenne \(\mu\)

Centre

Proposition :
Une gaussienne est centrée en sa moyenne \(\mu\)

Pic

Proposition :
Le maximum d'une gaussienne est en \(x=\mu\) avec \(\mu\) sa moyenne

Décroissance

Proposition :
Une gaussienne décroit de part et d'autre de son maximum

Intégrale

Proposition :
On a : $$\int^{+\infty}_{-\infty}{{Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } }}\,dx={{A\sigma\sqrt{2\pi } }}$$

Convolution

Proposition :
La convolution de deux gaussiennes est une gaussienne
(Convolution)
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que donne \(G_\delta*G_\beta\), si \(G_\delta\) et \(G_\beta\) sont deux gaussiennes ?
Verso: $$G_\delta*G_\beta=G_{\sqrt{\delta^2+\beta^2} }$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END